Dibujotécnico
Salamanca
Triángulos
Definición y clasificación
Un triángulo, en geometría, es un polígono definido por el corte de tres rectas, determinándose tres segmentos conocidos como lados que determinan tres puntos del plano no alineado, llamados vértices y su espacio interior.
Elementos de un triángulo
Un triángulo tiene tres ángulos interiores, tres lados y tres vértices entre otros elementos. Cada par de lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo. Por tanto podemos deducir que un triángulo es una figura estrictamente convexa.
Clasificación
Clasificación según sus lados:
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Triángulo equilátero: Cuando los tres lados son congruentes, es decir, las medidas de sus tres lados son iguales
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Triángulo isósceles: Cuando las medidas de dos de sus lados son iguales, es decir, dos lados son congruentes.
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Triángulo escaleno: Cuando las medidas de sus lados son diferentes entre sí, es decir, no tiene lados congruentes.
Clasificación según sus ángulos:
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Triángulo acutángulo: Cuando los tres ángulos son agudos, es decir, cada uno mide menos de 90°
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Triángulo rectángulo: Cuando uno de sus ángulos es recto, es decir, mide 90°. Los lados que forman el ángulo recto reciben el nombre de catetos mientras que el lado opuesto al ángulo recto recibe el nombre de hipotenusa. La hipotenusa es el lado de mayor longitud del triángulo.
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Triángulo obtusángulo: Cuando uno de sus ángulos es obtuso, es decir, mide más de 90° y menos de 180°
Autor: profeDomingoHely Perez
Autor: profeDomingoHely Perez
Propiedades fundamentales de los triángulos
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Cada lado tiene que ser menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
a<b+c b<a+c c<a+b
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A mayor lado se opone mayor ángulo.
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Los ángulos interiores de un triángulo tiene tres pares congruentes de ángulos exteriores.
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Observa las relaciones angulares que se producen al trazar una paralela por cualquiera de sus vértices.
"Si prolongamos la base y trazamos una paralela exterior a su lado opuesto por su vértice, verificamos que se forman ángulos adyacentes suplementarios iguales a los interiores. Al igual ocurres si trazamos una paralela por el vértice opuesto a la base."
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La suma de los ángulos interiores vale 180º. Por lo tanto, se puede verificar como consecuencia que:
"Un triángulo sólo puede tener un ángulo recto u obtuso, debiendo ser los otros dos agudos."
El perímetro de un triángulo es la suma de todos sus lados. Se expresa por 2p.
2p = a + b + c
Relaciones métricas de los elementos de un triángulo.
Cevianas y puntos notables.
Circuncentro-Mediatrices
Las mediatrices (ma, mb y mc) de cada uno de los lados del triángulo se cortan en un punto llamado CIRCUNCENTRO (Cc), centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Por tanto, el circuncentro equidista de los vértices A,B y C.
La union de los puntos medios de los lados (Pma, Pmb, Pmc o Ma, Mb, Mc) determinan el triángulo Complementario del dado. Dejando dividido el triángulo en cuatro triángulos semejantes.
Ortocentro-Alturas
Las alturas (ha, hb y hc) son las distancias mínimas (perpendiculares) de cada vértice (A,B y C) a su lado opuesto. Las tres alturas se cortan en un punto llamado ORTOCENTRO (Or).
Se denomina triángulo órtico al formado por los pies de las alturas (Ha, Hb y Hc) del triángulo principal.
Incentro-Bisectrice.Excicentricas
Las bisectrices (ba, bc y bc) de ángulos de un triángulo se cortan en un punto, equidistante de los lados del triángulo, llamado INCENTRO (In). Este punto es el centro de la circunferencia inscrita y por tanto tangente a los lados del triángulo en los puntos Ta, Tb y Tc.
Recuerda, antes de trazar la circunferencia debes hallar los tres puntos de tangencia, mediante 3 perpendiculares a los lados por el Incentro.
Las bisectrices de los angulos adyacentes a los interiores del triángulo se cortan con las anteriores en los exicentros (Ea, Eb y Ec) de las circuferencias exicéntricas al triángulo. Sus propiedades son:
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Los exicentros son equidistantes a las prolongaciones de los lados del triángulo, puesto que se verifica que pertenecen tanto a la prolongación de las bisectrices interiores del ángulo que los comprende como a las bisectrices de los adyacentes exteriores.
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Las bisectrices exteriores son perpendiculares a su respectiva interior.
Baricentro-Medianas
Las medianas (wa, wb y wc) son el segmento que une los vértices A, B y C del triángulo con el punto medio de su lado opuesto (Ma, Mb y Mc o Pma, Pmb y Pmc). Las tres medianas se cortan en un punto , llamado BARICENTRO, cenrtro de gravedad del triángulo. El BARICENTRO divide a la mediana de la siguiente forma:
La distancias del Baricentro a cada uno de sus vértices son las 2/3 partes de las longitudes de sus medianas correspondientes.
Triángulo pedal y órtico
El triángulo resultante de unir las tres bases de las alturas (Ha,Hb,Hc), se denomina triángulo pedal u órtico, y el Ortocentro(Or) resulta ser el incentro de dicho triángulo órtico. Dichas alturas son bisectrices de su triángulo órtico y, por tanto,el ortocentro de un triángulo dado es el incentro de su triángulo pedal.
El triángulo definido por los puntos medios Ma, Mb ,Mc de los lados de un triángulo dado, es semejante a dicho triángulo (TRIÁNGULO COMPLEMENTARIO) y corta a sus medianas en su punto medio. Es decir, las paralelas a los lados de un triángulo por su vértice opuesto forman un triángulo semejante al primero, cuyos lados miden el doble y sus medianas también.
Si por cada unos de los vértices de un triángulo, trazamos rectas paralelas al lado opuesto, dichas rectas determinan un triángulo, que se denomina triángulo circunscrito del dado, siendo ambos triángulos semejantes, y como vemos en la figura de la izquierda, el Ortocencentro (Or) del triángulo dado es el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo circunscrito.
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¿Cómo se comportan las cevianas en cada tipo de triángulo?
Completa el cuadro, que se adjunta en el docx, con las conclusiones que has sacado observando el applet?
Recta de Euler. Recta de Simpson.
Circunferencia de Feuerbach o de los nueve puntos.
En cualquier triángulo ABC, encontramos la recta de Euler, es la recta que pasa por el Baricentro, Circuncentro y Ortocentro.
En ella podemos delimitar el segmento de Euler: cuyos extremos son el Ortocentro (Or) y el Circuncentro (Cc); en él podemos encontrar también el Baricentro (Ba), ubicado a un 1/3 del Circuncentro (Cc).
Teorema de Feuerbach
"Los puntos que bisecan los lados, los pies de las alturas también los puntos que bisecan los segmentos que conectan los vértices con el ortocentro de todo triángulo pertenecen a una misma circunferencia."
En el punto medio del segmentode Euler encontramos el centro de la circunferencia de Feuerbach o circunferencia de los nueve puntos. Que es aquella que puede construirse con los nueve puntos notables vinculados a cualquier triángulo. Estos son:
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Los 3 puntos medios de de los tres lados del triángulo.
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Los 3 pies de las alturas de tal triángulo.
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Los 3 puntos medios de los segmentos que unen los tres vértices con el Ortocentro del triángulo.
Por la observación de que los puntos D, F y H satisfacen
IA=2ID IB=2IF IC=2IH
Se deduce que:
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La circunferencia de Feuerbach de un triángulo es homotética a la circunferencia circunscrita,
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El centro de homotecia es el ortocentro del triángulo,
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La razón de la homotecia es 2.
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El triángulo formado por los puntos D, F y H es semejante al triángulo ABC.
También se observa que el centro de la circunferencia de Feuerbach N, es punto medio del segmento IO, donde O es el circuncentro del triángulo ABC.
Su radio es igual a la mitad del radio de la circunferencia circunscrita, con la que mantiene una relación de homotecia. Dicha circunferencia es tangente a las circunferencias inscritas y exinscritas del triángulo.
Fuente: Wikipedia
Las rectas de Simpson son las rectas que une los pies de las perpendiculares trazadas desde un punto de la circunferencia circunscrita a los tres lados del triángulo o sus prolongaciones.
Tipología de problemas de triángulos.
Los distintos problemas de triángulos pueden estructurase de la siguiente forma, dependiendo de los datos iniciales del problema. Los datos que nos proporcionen deben ser tres, como mínimo. Cuando nos dicen el tipo de triángulo que debemos construir ya nos estan dando un dato o varios.
Construye el siguiente triángulo del que conocemos:
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Los tres lados. (a, b y c)
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Un lado(a):
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Y sus dos ángulos adyacentes.(a, Aº y Bº)
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La altura de a, y la altura de b. (a, ha y hb)
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Y las alturas de b y de c. (a, hc y hb)
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Y las medianas de b y de c. (a, mb y mc)
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su ángulo A y su mediana.
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2 lados (a y b) y
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su ángulo comprendido.(C)
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un ángulo opuesto a uno de ellos. (Aº o Bº) Método Arco capaz.
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Dos ángulos y un lado opuesto a uno de ellos. (Aº, B ºy a) Método Arco capaz.
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Equilátero,conocido:
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A partir del lado. (a)
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Conocida la altura.(ha)
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Rectángulo,conocido:
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Dos catetos (b y c)
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Cateto c y su ángulo opuesto. (c y Cº)
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Cateto c y un ángulo adyacente no recto. (c y Cº)
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Cateto b y la bisectriz del otro cateto. (RECT,b y bc)
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Uno de sus catetos y su hipotenusa. (b /c y a) Método Arco capaz.
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En el vértice A, conocida/o:
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la hipotenusa a y la diferencia b-c (A=90º, a y b-c)
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la hipotenusa a y la suma b+c (A=90º, a y b+c)
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un cateto, y la suma de hipotenusa y el otro cateto. (A=90º c, a+b)
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un cateto, y la diferencia de hipotenusa y el otro cateto. (A=90º c, a-b)
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un cateto y la mediana del otro cateto. (A=90º, c y wb)
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Dada la mediana de a y la altura de a.(A=90º, ma y ha)
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Isósceles, conocido:
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Uno de sus lados iguales y su ángulo desigual (ISO, b y Cº)
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El lado desigual a, y uno de sus ángulos iguales Bº. (ISO, a y Bº)
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Uno de sus lados iguales b y uno de su ángulos iguales Bº. (ISO, b y Bº)
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Uno de sus lados iguales b y el otro lado desigual a. (ISO, b y a)
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El lado y ángulo desigual. (ISO, b y Bº). Arco Capaz
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El ángulo A y el segmento a+ha. (ISO, Aº y a+ha)
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La altura de la base y la base. (ISO, ha y a)
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Los dos lados iguales y la altura del desigual. (c, b y ha)
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el perimetro y la altura del lado desigual. (2p,ha)
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La base y radio de la circunferencia circunscrita.(ISO, a y radio)
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Su altura, mediana y bisectriz de un lado. (ma, ha y ba)
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Escaleno, conocido:
Recursos en la red
Trazoide.com: Índice de los ejercicios de triángulos
Interesantisima página dónde podemos encontrar infinidad de problemas de triángulos clasificados por los datos los datos que se conocen.