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Cuadriláteros

Definición

Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros pueden tener distintas formas, pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales, y la suma de sus ángulos internos siempre es 360°.

Como ocurre con cualquier otro polígono regular, Un cuadrilátero se llama convexo si se encuentra en un mismo semiplano respecto a la recta que contiene cualquiera de sus lados.

Elementos de un cuadrilátero

Los elementos de un cuadrilátero son los siguientes:

4 vértices: puntos de intersección de los lados que conforman el cuadrilátero.

4 lados: segmentos que unen los vértices contiguos.

2 diagonales: segmentos cuyos extremos son dos vértices no contiguos.

4 ángulos interiores: el determinado por dos lados contiguos.

4 ángulos exteriores: el determinado por la prolongación de uno de los lados sobre

un vértice y el contiguo en el mismo vértice.

Propiedades fundamentales de los cuadriláteros

Las diagonales de un cuadrilátero convexo se cortan, bisecándose entre sí en algunos casos; cuando el cuadrilátero no es convexo, las diagonales no se intersecan.
La suma de los ángulos de un cuadrilátero convexo es 360º o 2π radianes.
Todo cuadrilátero convexo puede expresarse como la unión de dos triángulos con lado común una de las diagonales.
Circuncriptibilidad e inscriptibilidad de los cuadriláteros:
- Si un cuadrilátero está circunscrito entonces la suma de sus lados opuestos con iguales.

- En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia la suma de sus ángulos opuestos es igual a 180º.
- Sea ABCD un cuadrilátero inscrito, AB su diámetro, entonces las proyecciones de sus lados AD y BC sobre la recta CD son iguales.
Un segmento que pasa por la intersección de las diagonales de un cuadrilátero y une dos lados opuestos determina dos cuadriláteros con un lado común. (puntos medios)
Si se unen con cuatro segmentos los puntos medios de todos los lados de un cuadrilátero, entonces dichos segmentos forman un paralelogramo.
El área de un cuadrilátero inscrito se obtiene con la fórmula donde a, b, c, d son los lados y p es el semiperímetro.

Taxonomía de los cuadriláteros

En el mapa conceptual se pasa de lo más generales a las más específico siguiendo el sentido de las flechas.

Así, se parte de la idea de cuadrilátero como polígono cerrado de cuatro lados, para diferenciar los cuadriláteros compuestos de los simples.

En un cuadrilátero complejo, dos de sus lados se cortan.

En uno simple los lados no se cruzan.

Los cuadriláteros simples se dividen en:

Cóncavos. En un cuadrilátero cóncavo al menos uno de sus ángulos interiores mide más de 180°.
Convexos. Un cuadrilátero convexo no tiene ángulos interiores que midan más de 180°.
- Los convexos se subdividen en:

Cuadrilátero cíclico, si se puede trazar una circunferencia que pase por sus vértices.
Cuadrilátero tangencial, si se puede trazar una circunferencia tangente a cada uno de sus lados.
Trapecios, si tienen dos lados paralelos. Se diferencian:
1. Romboide, como caso más general de paralelogramo, si los lados son paralelos dos a dos.
2. Trapecio rectángulo, que tiene un lado perpendicular a sus bases.
3. Trapecio isósceles, cuyos lados no paralelos son de igual medida. Este trapecio también es cíclico.

A un cuadrilátero que al mismo tiempo sea cíclico y tangencial se le denomina cuadrilátero bicéntrico.

El deltoide es tangencial con dos pares de lados iguales.

Un caso particular de trapecio isósceles es cuando la longitud de una de las bases es igual que la de sus lados, por lo cual se configura un trapecio de tres lados iguales.

Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de sus lados, sus longitudes y sus ángulos interiores:

A) Paralelogramos: sus lados opuestos son paralelos.

A.1) Cuadrado todos sus lados son iguales, todos sus ángulos interiores son rectos, sus diagonales son iguales y perpendiculares entre si. Son bisectrices.
Puede considerarse rombo, rectángulo, con lados iguales y bicéntrico.
A.2) Rombo todos sus lados son iguales, sus ángulos interiores no son rectos, son iguales los opuestos, agudos y obtusos, sus diagonales son distintas (mayor y menor) y perpendiculares entre sí, son bisectrices, su circunferencia es inscrita.
Es un deltoide paralelogramo, que cumple las características de ambos.
A.3) Rectángulo sus lados son iguales dos a dos (los paralelos), todos sus ángulos interiores son rectos, todas sus diagonales son iguales pero no son perpendiculares entre si y su circunferencia es circunscrita.
Es un cuadrilátero que simultáneamente cumple las características de:
- Paralelogramo, al ser paralelos sus lados opuestos.
- Trapecio rectángulo, porque los lados son perpendiculares a las bases.
- Trapecio isósceles, por ser de igual longitud los lados que no constituyen las bases.
A.4) Romboide* sus lados son iguales dos a dos (dos lados menores iguales y dos lados mayores iguales).Sus ángulos interiores no son rectos, son iguales los opuestos, agudos y obtusos. Sus diagonales son de distinta longitud y no son perpendiculares entre sí.

B) Trapecios: cuadrilátero convexo que tiene exactamente dos lados paralelos.

Los lados paralelos se llaman bases del trapecio y la distancia y el segmento perpendicular entre ellos altura.

Se denomina mediana al segmento que tiene por extremos los puntos medios de los lados no paralelos, estos se llaman laterales.

Los trapecios respecto a sus ángulos internos, pueden ser

B.2) Trapecio rectángulo: es el que tiene un lado perpendicular a sus bases.
- Tiene dos ángulos internos rectos, uno agudo y otro obtuso.
- Se puede descomponer en un triángulo rectángulo y un triángulo cualquiera, trazando la diagonal del vértice adjunto a la base menor al vértice del ángulo agudo.
- Se puede descomponer, también, en un rectángulo y un triángulo rectángulo, mediante un segmento paralelo al lado biperpendicular trazado del ángulo del vértice del ángulo obtuso a la base mayor.
B.3) Trapecio isósceles es el que tiene los lados no paralelos de igual medida.
- Tiene dos ángulos internos agudos y dos obtusos, que son iguales entre sí.
- Las diagonales son congruentes.
- La suma de los ángulos opuestos es 180°.
B.4) Trapecio escaleno es el que no es isósceles ni rectángulo, la medida de sus lados da como resultado medidas diferentes.
- Sus cuatro ángulos internos poseen diferentes medidas.

C) Trapezoides:

*Algunas clasificaciones de cuadriláteros denominan a esta figura como Paralelogramo propiamente dicho.

Cuadrilátero simétrico

Se llama así cualquier cuadrilátero en el cual una de sus diagonales sirve de eje de simetría.

Por ejemplo: el rombo, el deltoide, el cuadrado.

Problemas de cuadriláteros

Recursos en la red

Trazoide.com:

Índice de los ejercicios de :

Interesantísima página dónde podemos encontrar infinidad de problemas de triángulos clasificados por los datos del problema

Dibujotécnico

Salamanca