Dibujotécnico
Salamanca
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Ángulos
Generalidades.
Como hemos visto, generalmente en los sistemas basados en proyección cilíndrica se produce toda una serie de deformaciones angulares que se traduce en la desconfianza en que las proyecciones diédricas de un ángulo se presenten en verdadera magnitud. Con la exención, de ángulos se formen por elementos paralelos a, o contenidos en, los planos de proyección, o dicho de otra manera, si cualquier ángulo se puede contener en un plano paralelo a los planos de proyección, se observaran sus proyecciones diédricas en verdadera magnitud.
Para solucionar esta inexactitud, recurrimos a procedimientos operativos que faciliten la obtención de la deseada verdadera magnitud de los ángulos representados en SDO, como son los métodos diédricos, con la finalidad de situarlos en los planos de proyección o en planos paralelos a estos.
Para su correcta explicación, vamos a clasificarlos agrupándolos en 3 grupos generales: el primero se referirá a los ángulos que forman entre sí los diversos elementos representados por sus proyecciones diédricas, el segundo bloque se refiere a los ángulos formados entre los elementos representados con los planos de proyección y entre los elementos y la línea de tierra el tercero.
El primero se refiere a los ángulos formados por dos rectas, incluyendo los formados con la línea de Tierra. El segundo grupo, se centra en los ángulos formados entre una recta y un plano, sin excluir los formados entre un plano con la línea de tierra. Y por último, los formados entre planos, incluyendo los formados con los planos de proyección.
Ángulos I. Entre dos rectas que se cortan.
" Para conocer la Verdadera magnitud de Dos rectas que forman un ángulo α, que necesariamente deben ser coplanarias, bastará con abatirlas sobre uno de los planos de proyección."
En la animación inferior, se pide hallar el ángulo en VM, que forman las rectas R y S que se cortan en el punto A: Averiguamos las trazas del plano que determinan/contienen y las abatimos seguidamente sobre el PH a partir de la traza horizontal del plano (P'), podemos elegir abatirlas sobre el PV, de forma análoga.
Hay que recordar que no es válido cualquiera de los ángulos existentes entre R y S abatidas, por normalización: se considera el ángulo menor, o más agudo, como el ángulo que forman dos rectas al cortarse, de tal forma que : los contiguos son suplementarios y los opuestos por el vértice idénticos.
A.1.1.1 Ángulo entre dos rectas, r y s , no parelelas
¿Es necesario, determinar las trazas del plano que definen las rectas? ¿Qué sucede si no podemos determinarlas? o ¿Cómo podemos simplificar el procedimiento anterior?
Para responder a estas preguntas, podéis ver la animación inferior, en la que se determina el ángulo α en Vm que forman las rectas r y s, simplemente tomando un plano horizontal o frontal que corte a estas dos rectas y abatir el punto A común para unirlo con los puntos dobles (puntos de corte dela rectas r y s con la charnela).
Si aún no has respondido a la pregunta: ¿Como dibujar la bisectriz de dos rectas en SDO? será suficiente con trazar la bisectriz del ángulo α abatido, tras lo cual desabatiremos la bisectriz para hallar sus proyecciones.
A.1.1.2 Ángulo entre dos rectas (Método plano auxiliar)
Ángulo entre dos rectas que se cruzan.
Dos rectas (r y s) que se cruzan también determinan un ángulo. Para obtenerlo, bastará con trazar por un punto (I) de una de ellas (r), una recta (t) paralela a la otra (s). De esta manera, determinamos un plano P puesto que r y t son coplanarias, se cortan en un punto (I). A continuación, las abatiremos, como en ejercicios anteriores y determinaremos el ángulo existente entre ellas que será el mismo que el formado entre las dos rectas dadas que se cruzan. [Ejercicio de refuerzo o ampliación]
Problemas inversos de ángulo entre dos rectas.
Determinar las proyecciones de una recta que forme xº con otra.
Normalmente, los casos/problemas inversos, como hemos podido ir viendo durante el curso, se resuelven mediante el análisis a la inversa del planteamiento empleado en la resolución de su correspondiente caso ya vistos, por lo que las soluciones y los datos de partida de los problemas anteriores son los datos iniciales y las soluciones a determinar, respectivamente, es decir, partimos de las soluciones para encontrar los datos iniciales.
Este problema (A113) es el inverso del caso A111. Tras un análisis inverso, el planteamiento se centra en abatir la recta (r) para trazar una recta (s) que forme el ángulo pedido, de tal forma obtenemos el punto de intersección (A). Finalmente, desabatimos para obtener las proyecciones de las recta solución, como siempre, recuerda que en SDO se debe representar correctamente los elementos con dos dos proyecciones.
A.1.1.3. Trazar una recta que forme αº con otra recta conocida.
Ángulo que forma una recta con la linea de tierra (LT).
Ángulo que forma una recta R, que pasa por LT, con la linea de tierra(LT).
"El ángulo que forma una recta con la LT, queda determinado con el abatimiento de la recta sobre uno de los planos de proyección"
Como ya sabemos por una recta pueden pasar infinitos planos, pero para poder determinar el ángulo que forma la recta con la LT buscaremos contenerla en un plano que pase, al mismo tiempo, por LT, reduciendo el problema a un abatimiento en el que la charnela coincide con la misma la línea de tierra.
A.1.2.1. Hallar el ángulo que forma la recta r, que pasa por la LT, con la Linea de Tierra.
Ángulo que forma una recta R, que no pasa por LT, con la linea de tierra(LT).
En este caso, como podemos seguir en la animación inferior, el problema consiste en trasladar una de las proyecciones paralelamente, para que obtengamos una recta paralelas a la anterior pero que corta a la LT. De esta manera, el ángulo que forma esta segunda recta es idéntico a la recta dato.
A.1.2.2. Hallar el ángulo que forma la recta r con la Linea de Tierra..
Problemas inversos de ángulo entre recta y la linea de tierra (LT)
Hallar una recta que forme αº con la Linea de Tierra.
Estos ejercicios se resuelven invirtiendo los pasos de los ejercicios resueltos anteriormente. Sabiendo que necesitamos trazar una recta R que corta a la línea de tierra, formando un ángulo determinado con dicha línea, siendo conocida una de sus proyecciones, en el ejemplo la horizontal, podemos determinar la proyección restante. Además, sabemos que la recta debe contener a un punto A, del que conocemos su proyección vertical A''
A.1.2.3. Hallar la proyección vertical de una recta que forma αº con la LT, conocida r' y A''.
Ángulos II: Entre una recta y un plano
" El ángulo que forma una recta con un plano
es el que forma dicha recta con su proyección ortogonal sobre el plano."
En SDO, este ejercicio se resuelve trazando desde un punto (A) cualquiera de la propia recta (r), una recta perpendicular (t) al plano dado (P).
El ángulo β que forman las rectas (r y s) entre sí, es el ángulo complementario (90º-β) del ángulo buscado (α).
A.2.1.1. Hallar el ángulo que forma una recta y un plano. Hallar su verdadera magnitud. (método ángulo complementario).
El segundo método se fundamenta en hallar la intersección entre el plano P y el plano que definen la recta r y la recta t - recordamos, perpendicular al plano P por un punto A de la recta r -.
La intersección de estos dos planos, es la recta x, que deberá ser abatida junto con la recta r para hallar el ángulo α solución. Este último paso, puede plantarse de dos formas:
-
Hallar los puntos I e Y, resultado de dos intersecciones entre recta y plano, después hallar las trazas del plano que contiene a las rectas r y x, para abatirlas y hallar el ángulo solución α. (Procedimiento que se muestra)
-
Hallar el plano Q, que definen las rectas r y t, después hallar la intersección entre ambos planos, que tendrá como resultado la recta x. Finalmente se abate la recta x y la recta t para encontrar la solución.
Este procedimiento solo es interesante como repaso de intersecciones, puesto que los otros métodos, el método directo y el método del ángulo complementario, son mas rápidos y recomendables.
A.2.1.2. Hallar el ángulo que forma una recta y un plano. Hallar su verdadera magnitud. (método intersecciones)
A.2.1.3. Hallar el ángulo que forma una recta y un plano. Hallar su verdadera magnitud. (método Directo)
Hallar el ángulo que forman una recta con los planos de proyección
"El ángulo que forma una recta (r) con los planos de proyección es el que forma la proyección ortogonal de la recta sobre dichos planos."
Así es, el ángulo β es el ángulo que forma la recta (r) con su proyección ortogonal sobre plano vertical de proyección (r''). Y la proyección ortogonal de la recta sobre el plano horizontal de proyección (r') forma con la recta (r) el ángulo α.
Un primer método para determinar el ángulo de una recta con los planos de proyección, consiste en un abatimiento:
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Abatimiento de la recta sobre el PH: Contenemos la recta en un proyectante vertical y la abatimos sobre el PH, observaremos el ángulo α en Vm.
-
Abatimiento de la recta sobre el PV: Utilizando la proyección vertical como charnela, abatimos sobre el PV, observando el ángulo β en Vm.
A.2.2.1. Hallar el ángulo que forma una recta con el PH o PV. Hallar su verdadera magnitud. (método I Abatimiento.)
El Segundo método para determinar el ángulo de una recta con los planos de proyección, consiste en un giro de las trazas de la rectas sobre un eje que contenga a la otra traza, por tanto situado en los planos de proyección, con el fin de girar la recta sobre dichos planos y hallar el ángulo β que forma la recta con el PH y el ángulo α que forma la recta con el PV:
-
Giro de la recta sobre el el PH: Elegimos un eje vertical que contiene la traza vertical de la recta, para girarla, giraremos la traza horizontal hasta contenerla en el PV, observaremos el ángulo α en Vm.
-
Giro de la recta sobre el PV: Al contrario, tomamos un eje horizontal que coincida con la traza horizontal de la recta, giro de la traza vertical hasta contenerla en el PH, observaremos el ángulo β en Vm.
A.2.2.2. Hallar el ángulo que forma una recta con el PH o PV. Hallar su verdadera magnitud. (método II Giro)
El tercer método para determinar el ángulo de una recta con los planos de proyección, consiste en un cambio de plano para situar la recta en una posición paralela a los planos de proyección y apreciar el ángulo que forma con ellos.
Asi, como podemos ver en la presentación inferior, para hallar el ángulo β, el que forma la recta con el PH, colocaremos la recta en posición horizontal y en posición frontal, para determinar en verdadera magnitud el ángulo α , el que forma la recta con el PV:
A.2.2.3. Hallar el ángulo que forma una recta con el PH o PV. Hallar su verdadera magnitud. (método III cambio de plano)
Problemas inversos de ángulos entre rectas y planos de proyección (PH o PV).
Dibujar una recta que forma xºcon los planos de proyección.
Como hemos expuesto en el planteamiento de casos inversos anteriores, el procedimiento se basa en las siguientes particularidades:
Si conocemos una proyección de la recta, simplemente: las soluciones pueden ser infinitas, todas ellas paralelas entre si, y que formen xº con su otro plano de proyección, puesto que la proyección buscada estará formada por rectas-trazas con distintas cota y referencia, que dara lugar a proyecciónes paralelas entre si. La elección de una recta u otra, dependerá de lugar de la charnela por donde dibuje la recta abatida. A no ser que nos un punto de la misma, contenido en la solución, ya sea un punto B cualquiera o un punto-traza de la recta. Es decir, un/a dato/condición que nos permita discriminar las soluciones posibles a una o dos.
Efectivamente, como podemos apreciar en la ilustracion inferior, en el dibujo de la izquierda, el corte de la recta que forma xº con la charnela, define las trazas de la recta solución. Pero ¿Por qué trazamos la recta abatida (r) en esa localización?
En respuesta a esa pregunta, imaginaos que replanteamos los datos: Dibujar una recta r, perteneciente al 1º diedro, que forma xº con el PH, conocido la proyección r' y el punto B abatido (B) contenido en ella. En este caso, el problema se ve reducido a una o dos soluciones, dado que la recta r abatida (r) debemos dibujarla por (B).
En el problema de la derecha, replanteamos el problema con una segunda condición, un punto A. El método de resolución empleado es un giro de un proyección horzontal de un punto (o de la traza) hasta contener a la recta en el PV.
A.2.2.4.Dibujar una recta que forme xº con el PH o PV.
El siguiente problema que vamos a plantear, menos particular que los anteriores, es más general (lo que nos permitirá adaptarlo a cualquier enunciado), en el sentido que solo disponemos de un dato de partida, el punto A. Con este plateamineto de resolución podemos resolver cualquier problema en el que tengamos que dibujar una recta que forme ángulo de xº con uno de los planos de proyección, en el que la introducción de cualquiera otra condición que deba cumplir la recta solución (por ejemplo, que pase por otro punto dado, o que diste x de un plano o una recta dada, o que sea paralelo o perpendicular, etc.) nos limitará las soluciones a una o dos opciones.
La idea del planteamiento general para la resolución de problemas inversos de ángulos de rectas con los planos de proyección es la de un cono apoyado sobrel PH o PV, donde sus generatirces formen xº conel plano que contiene a la base. Como vemos podemos obtener infinitas rectas que contengan al punto A y formen xº con el PH, siempre que su traza horizontal este contenida en la base del cono.
A.2.2.5.Dibujar una recta que forme xº con el PH o PV.
Hallar el ángulo que forma una recta con los planos de proyección.
El planteamiento inicial es parecido el caso A.1.2.2. Hallar el angulo que forma un plano P que pasa por LT, con la linea de tierra. La clave está en el pto. 1, corte de plano de perfil de proyección con la recta R. Tras determinar ese punto en la propia linea del plano de perfil (Pp), simplemente lo abatimos, o bien, lo giramos hasta colocarlo sobre el PV o PH, mediante un eje de giro horizontal o vertical, situado en la confluencia de las trazas de la recta con LT.
Como podemos observar en la animación inferior, el resultado es el siguente:
-
El ángulo que forma con el PH, en verde, el giro horizontal con eje vertical.
-
El ángulo que forma con el PV en rojo el giro vertical con eje de punta.
El eje no se ha dibujado por simplificar el procedimiento.
A.2.2.6. Hallar el ángulo que forma una recta que pasa por LT con el PH o PV.
Ángulo que forma un plano con la linea de tierra (LT).
"El ángulo que forma un plano con la linea de tierra es igual
al ángulo que forma la recta (i) intersecón entre el plano dado y un plano perpendicular
a éste que pase por la linea de tierra (LT)"
Así es, para determinar el plano perpendicular al dado, tenemos que irnos a la 3ª proyección, por ser un plano que pasa por la LT. Y como recordamos,necesitamos un punto para poder representarlo correctamente. En la elección de este pto (I). es donde radica el centro de nuestro planteamiento, puesto que este pto necesariamente debe cumplir estas características:
-
Debe estar contenido en el PP.
-
El pto.I es el resultado de una triple intersección:
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Es el resultado de la intersección entre las trazas de perfil de los planos,
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también el resultado de la intersección entre la recta i y el plano de PP,
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y por último, es el pto de tangencia entre la base del cono, que nos permite determinar el ángulo que forma con la LT, y la traza de perfil del plano dado.
-
Como podemos apreciar en la animación inferior, el cuarto de cono que dibujamos es el lugar geométrico definido por la generatriz i, al abatirlo sobre el PH o PV. Puesto que el plano perpendicular define el ángulo máximo al determinar un triángulo rectángulo de hipotenusa la generetriz de contorno, catetos: el radio de la base, perpendicular al plano dado, y la altura del cono que coincide con la LT.
A. 2. 3. 1. Hallar el ángulo que forman un plano dado con la LT.
Problemas inversos de ángulos entre planos y la linea de tierra.
Hallar una plano que forme xº con la Linea de Tierra.
El planteamiento de este problema se centra en el plantado en el caso anterior: A.2.3.1. Hallar el ángulo que forma un plano con la LT.
"El ángulo que forma un plano con la linea de tierra es igual
al ángulo que forma la recta (i) intersección entre el plano dado y un plano perpendicular
a éste que pase por la linea de tierra (LT)"
Así, tras el análisis inicial de los datos del problema, comprendemos que debemos reproducir un cuarto de cono cuyo contorno forma xº con la base, y cuya altura se sitúa en la LT con vértice en el corte de las trazas del plano buscado :
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Construir a recta (r) de contorno del cono de vértice A (corte de las trazas del plano buscado) abatida, puesto que debe formar xº con respecto a la altura del cono = LT.
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Situamos el pto. 1 en el corte de la traza vertical con la traza de perfil.
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Dibujamos la base del cono abatida sobre el PH, con centro en O, y radio el corte de la recta r abatida (r) con el PP.
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Ahora viene lo importante, consideramos el problema de tangencias básico, trazar una recta tangente a una circunferencia por un pto P exterior. Siendo el pto. 1, el pto. exterior P, y la circunferencia, la base del cono, podemos dibujar la traza α''' que es tangente a la base del cono. De tal forma se cumple que por el pto de tangencia (T), hay un plano perpendicular al plano α, que pasa por T y por O.
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Tras dibujar la traza α''', desabatimos para hallar su proyección horizontal α', y resolver el problema.
Si clickeas, en la ilustración inferior, puedes seguir el proceso en mongge.
A.2.3.2. Dibujar una plano que forme xº con la LT, conocida una de las trazas (P')
Ángulos III: Entre dos planos
A.3.1.1. Hallar el ángulo que forman dos planos P y Q no paralelos (se cortan)
Hallar el ángulo que forma un plano con los planos de proyección.
3. 2.1. Hallar el ángulo que forman un plano con el PH o PV.
Problemas inversos de ángulos que forma un plano con los de proyección.
Hallar una plano que forme xº con los planos de proyección.
A. 3.3.1. Dibujar un plano que forma xº con el PH o PV.
A. 3.3.2. Dibujar un plano que forma xº con el PH o PV, conocida una de sus trazas.