Dibujotécnico
Salamanca
Geometria > Tangencias
Tangencias y enlaces
Introducción
En este tema trata de reconocer y construir elementos tangentes partiendo de unos datos establecidos, sin olvidar la necesidad fundamental de localizar cuales son los puntos de tangencia.
Estos puntos de tangencia son de suma importancia para la resolución de enlaces, ya que, que nos permiten unir líneas rectas o curvas de forma que parezcan una sola línea continua.
Definiciones
Tangencia
Dos elementos, son tangentes cuando tienen únicamente un punto en común, denominado punto de tangencias (T). Estos elementos pueden ser circunferencias o arcos de circunferencias (en algunos casos pueden ser curvas técnicas y/o cónicas) y rectas.
Estas tangencias pueden darse, por tanto, entre dos circunferencias entre si (o arcos de circunferencia), o bien, entre una recta y una circunferencia (o arcos de circunferencia).
Enlace
Unión armónica de dos o más líneas curvas o rectas y curvas entre sí, por medio de tangencias, a partir del punto de tangencia (T).
En ambas situaciones se cumplen las siguientes propiedades.
Consideraciones previas en la resolución de tangencias.
Consideración 1 Nomenclatura o Designación.
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Puntos P, Q,...
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Puntos de tangencia T.
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Tc= punto tangente en la circunferencia.
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Tr= punto tangente en la recta
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Ts= punto tangente solución
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Centros de circunferencia O.
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Centros de circunferencia tangentes solución Os.
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Radio R
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Radio solución Rs.
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Rectas r, s, ....
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Rectas tangentes t.
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Si fuera necesario, se priman ( T’, T’’,…) o se acompañan con un subíndice (t1, t2,...).
Consideración 2 Datos y soluciones.
Se necesitan obligatoriamente tener en cuenta el número de datos precisos para obtener la solución, a elegir entre punto, recta y circunferencia. Aunque, como norma general, suelen ser tres datos, cuando la solución sea un circunferencia necesitaremos tres datos, y cuando sea una recta, serán dos. Sin olvidar que hay que tener en cuenta que una condición puede suplir a un dato.
En lo referente a las soluciones, su número puede oscilar entre cero y ocho.
Métodos para resolver tangencias y enlaces.
Los problemas de tangencias o enlaces pueden resolverse empleando cuatro procedimientos/métodos:
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Propiedades geométricas fundamentales.
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Lugares geométricos.
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Dilatación.
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Homotecia.
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Potencia.
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Inversión.
Casuística en las tangencias
Existen 22 casos de tangencias, que podemos agrupar en virtud de las soluciones deseadas y los datos iniciales, de la forma siguiente:
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Rectas tangentes a circunferencias.
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Circunferencias tangentes a rectas.
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Circunferencias tangentes a circunferencias.
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Circunferencias tangentes a rectas y circunferencias.
Propiedades geométricas fundamentales
en tangencias y enlaces.
Propiedad 1
Toda recta tangente a una curva (circunferencia o arco) es siempre perpendicular al radio por el punto de tangencia de la misma. El punto de tangencia es el pie de la perpendicular, el punto común o de la tangente y la curva.
En los enlaces es el punto a partir del cuál conectamos la recta con la curva. En el enlace entre un arco de circunferencia y una recta, el radio del arco perpendicular a la recta determina en su contacto con esta el punto de tangencia entre ambas.
Propiedad 2
Si dos circunferencias son tangentes entre si, se cumple que su punto de tangencia (T) se encuentra alineado con los centros de las circunferencias dadas. El punto de tangencia es el punto común entre las curvas.
En los enlaces es el puntos a partir del cuál conectamos ambas curvas. El enlace entre dos arcos tiene siempre su punto de tangencia en línea recta con los centros de ambos arcos.
Aplicando estas propiedades geométricas fundamentales, podemos resolver los casos más simples de tangencias, que son:
Lugares geométricos en las tangencias
En la resolución de problemas de tangencias o enlaces, toma gran relevancia los lugares geomètricos. Por ello debemos tener claros la una serie de lugares geométricos, que ya hemos visto con anterioridad, pero que deben ser replanteados como lugares geométricos de puntos que son centros de circunferencias tangentes soluciones.
Asi, los redefinimos de la siguiente manera:
Propiedad fundamental 1
El lugar geométrico de todos los centros de las circunferencias tangentes a una recta s en un punto P de ella, es otra recta t perpendicular a ella en ese punto.
Propiedad fundamental 2
El lugar geométrico de todos los centros de circunferencias tangentes a otra circunferencias, en un punto de ella, es la recta que une el punto de tangencia con el centro de la circunferencia.
Propiedad fundamental 3
La mediatriz del segmento AB, será el lugar geométrico de todos los centros de las circunferencias que pasan por los puntos A y B.
Propiedad fundamental 4
El lugar geométrico de todos los centros de las Circunferencias que son tangentes a dos rectas que se cortan s y t es la bisectriz de las mismas.
Propiedad fundamental 5
El lugar geométrico de todos los centros de circunferencias O, de igual radio R, tangentes a la recta r, se encuentra en las, rectas t y s, paralelas a la misma a la distancia R.
Propiedad fundamental 6
El lugar geométrico de todos los centros de las circunferencias de radio R que pasan por un punto Q, se encuentra en una circunferencia de centro O y de igual radio R.
Dilatar una circunferencia C, positiva o negativamente, una magnitud d conocida, permite transformarla en otras dos concéntricas a ella, cuyos radios son:
-
La suma del radio de la circunferencia original y la magnitud d: (R + d=R’) DILATACIÓN POSITIVA
-
La diferencia entre el citado radio y la mencionada magnitud: (R-d=R’’) DILATACIÓN NEGATIVA
Si la suma se considera en sentido de crecimiento partiendo del centro, la resta, lo hace en sentido contrario. Así el desplazamiento de cualquier punto P de la circunferencia, es radial, bien sea positiva o negativamente, de modo que el punto P pasa a ser P' en una dilatación positiva y P'' en una dilatación negativa.
Si consideramos un punto P una circunferencia de radio nulo, podemos dilatarla una magnitud d, de forma que encontramos una circunferencia de centro P, que es el lugar geométrico de los centros de circunferencia de radio d que pasan por el punto P.
Destacar que si dilatamos una circunferencia negativamente una magnitud igual a su radio, la transformamos en un punto. Esta propiedad es la más útil de las dilataciones, pues permite convertir algunos problemas de tangencias en otros más sencillos.
De igual forma, si consideramos una recta una circunferencia de radio infinito, podemos también dilatar esta recta una distancia d, encontrando dos paralelas, a ambos lados, que son los lugares geométricos de centros de circunferencia de radio d, tangentes a la recta r.
Dilatación.
¿Cómo utilizar este método?
Podemos aplicar este método combinándolo directamente con la idea de lugares geométricos, para hallar las intersecciones de los lugares geométricos que se generan al dilatar los datos dados, ya sean puntos, rectas o circunferencias, o bien emplearlo para transformar un caso, cuya resolución es más compleja, en otro conocido que nos resulte más fácil.
Asi podemos resolver los casos de tangencias de forma ordenada, clasificándolos en función del radio solución. Esta forma de clasificación se suele utilizar en bachillerato, y es la que nos vamos a seguir a continuación.
A continuación vamos a ver los diferentes casos de tangencias que podemos resolver empleando las propiedades geométricas fundamentales (PGF), los lugares geométricos y la dilatación (LG/D), clasificados en función del dato: Radio solución.
1.Trazado de rectas tangentes...
1.01. a una circunferencia que pasan por un punto, ...
PGF 1.01.a. Si el punto está en la circunferencia. (Tc)
PGF 1.01.b. Si el punto P es exterior a la circunferencia. (P)
PGF 1.01.c. paralelos a una dirección dada. (dt)
1.02. a dos circunferencias...
2. Trazado de circunferencias tangentes conocido el radio solución.
LG/D 2.01. Circunferencias que pasan por dos puntos. (RsPP)
LG/D 2.02. Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a una recta.
2.02.a. Si el punto está en la recta. (rRsTr)
2.02.b. Si el punto es exterior a la recta. (RsPr)
2.03. Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a una circunferencia.
LG/D 2.03.a. Si el punto está en la circunferencia. (cRsTc)
LG/D 2.03.b. Si el punto es exterior a la circunferencia. (RsPc)
LG/D 2.04. Circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan (Rsrr)
LG/D 2.05. Circunferencias tangentes a una recta y a una circunferencia (Rsrc)
LG/D 2.06. Circunferencias tangentes a dos circunferencias (Rscc)
3.Trazado de circunferencias tangentes sin conocer el radio solución.
LG/D 3.01. Circunferencia que pasan por tres puntos (PPP)
LG/D 3.02. Circunferencia que pasan por un punto y es tangente a la recta en un punto de ella (TrP)
PGF 3.03. Circunferencia tangentes a dos rectas conociendo el punto de tangencia en una de ellas (rrTr)
LG/D 3.04. Circunferencia tangentes a tres rectas (rrr)
LG/D 3.05. Circunferencia que pasan por un punto y es tangente a una circunferencia en un punto de la misma (TcP)
3.06. Circunferencias tangentes a una recta y a una circunferencia conociendo un punto tangente
3.06.a. Si conocemos el punto de tangencia con la recta.(rcTr)
3.06.b. Si conocemos el punto de tangencia con la circunferencia.(Tcrc)
3.07.Circunferencias tangentes a dos circunferencias conociendo un punto tangencia (ccTc)
3.08. Circunferencias tangentes a una recta y que pasen por dos puntos (PPr)
3.09. Circunferencias tangentes a una circunferencias y que pasen por dos puntos (PPc)
3.10. Circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan y pasan por un punto (rrP)
3.11. Circunferencias tangentes a una recta y una circunferencia, que pasan por un punto P exterior (Prc)
3.12. Circunferencias tangentes a dos circunferencias que pasan por un punto P (Pcc)
3.12.a. Si el punto es exterior a la circunferencia. (Pcc) Inversión
3.12.b. Si el punto está en la circunferencia. (ccTc)
3.13. Circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas (ccc) Apolonio
Resolución de tangencias básicas.
Recursos en la red
Aplicación flash con animaciones de los procedimientos de construcción de tangencias que se estudian en bachillerato. Evaluaciones y ejercicios con formato TIC. Galardonada por el Ministerio de Educación a la elaboración de materiales TIC.
Aplicaciones de tangencias.
Las tangencias permiten resolver muchos problemas geométricos y son útiles en el diseño de objetos, diseños gráficos y diseños decorativos