Dibujotécnico
Salamanca
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El plano. Representación y pertenencia.
Geométricamente, Un plano es una superficie plana ilimitada, sin espesor
El plano es uno de los elementos geométricos básicos. Tiene dos dimensiones planas (X e Y).
Un plano no tiene proyección. La proyección de los infinitos puntos que lo componen daría como resultado una mancha de puntos, por este motivo, los planos se representan en el Sistema Diédrico por sus trazas.
Todo plano en el espacio genera automáticamente dos trazas en forma de dos rectas contenidas en los dos planos de proyección o proyectantes , puesto que son las intersecciones del plano con los planos de proyección:
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Una traza vertical, en el Plano de Proyección Vertical,
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Y traza horizontal, en el Plano de Proyección Horizontal.
En el espacio se marca con una letra griega (α, β,…). Y en el Sistema Diédrico, nombramos:
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La traza vertical de un plano se la denomina: α'', β'',… o α2, β2, ...
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La traza horizontal de un plano se la denomina: α', β',… o α1, β1, ...
¿Cuándo un punto y/o una recta pertenecen a un plano?
Aunque los planos no tienen proyecciones, representandose mediante sus trazas, los elementos contenidos en ellos si las tienen. La condición de pertenencia que debe cumplir una recta es la misma que la condición de pertenencia de un punto, que hemos visto en el capitulo anterior.
En este sentido, sabemos que una recta, en esencia, es un conjunto de puntos, y si demostramos "dos puntos de esa recta pertenecen a un plano, el resto de los puntos de ésta también pertenecen al plano", por tanto, concluir que 2 cuestiones importantes que se ilustran en el ejemplo:
Una recta pertenece a un plano
si las trazas de la recta están contenidas en las trazas del plano.
La rectas representadas pertenecen al plano porque sus trazas pasan por las trazas de las rectas. Y a su vez, el punto A pertenece al plano porque lo situamos en las distintas rectas.
Un punto pertenece a un plano si las trazas del punto estan contenidas, a su vez,
en las trazas de una recta perteneciente al plano.
Para simplificar nuestras labor a la hora de representar una recta en el sistema diédrico, elegimos la pareja de puntos que representan los cortes de la recta con los planos de proyecciones, es decir, elegimos las trazas de la recta, puesto que son los más sencillos para demostrar su pertenencia al plano, como veremos en el apartado siguiente.
Situar un punto en un triángulo (sistema diedrico directo)
¿Cómo podemos definir un plano en el espacio? ¿Y representarlo en el sistema diédrico?
Existen cuatros formas posibles de definir un plano (Ver ilustraciones). Que en resumen, a la hora de trazar las proyecciones del plano, se pueden dividir en dos vias.
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La 1ª via: Definir un plano por 2 rectas que se cortan.
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La 2ª vía: Definir un plano por 2 rectas paralelas.
Los otro dos casos, podemos reducirlo a cualquiera de estas dos vias procedimentales.
Si cliceamos sobre las imágenes podemos estudiar cómo obtener las trazas del plano cuando partimos de cada una de las estas formas geométricas.
Autor applet geogebra: Matemágicas
Dos rectas que se cortan
Una recta y un punto que no le pertenece.
Dos recta paralelas
Casos particulares en la definición de planos (Rectas notables del plano)
La importancia de este tipo de rectas radica en su idoneidad y facilidad para definir el plano que las contiene. Se cumplen una serie de premisas que simplifican la obtención de las trazas del plano que las puede contener. Algunos autores se refieren a ellas como "rectas notables del plano".
1. Definición de un plano por una única recta:
1.1. Linea de máxima pendiente (l.m.p.)
Un plano puede ser definido por una sola recta de máxima pendiente del plano. Se denomina recta de máxima pendiente de un plano, a cualquier recta del plano, que sea perpendicular a su traza horizontal. Se representa con dos pequeños trazos con linea fina perpendiculares a su proyección horizontal.
Problema: Definir las trazas del plano (a), sabiendo que la recta (p) es una de sus rectas de máxima pendiente.
1.2. Linea de máxima inclinación (l.m.i.)
De igual manera, sucede con las lineas de máxima inclinación a la hora de definir un plano. Se denomina recta de máxima inclinación de un plano, a cualquier recta del plano, que sea perpendicular a su traza vertical. Se representa con dos pequeños trazos con linea fina perpendiculares a su proyección vertical.
Problema: Definir las trazas del plano (a), sabiendo que la recta (i) es una de sus rectas de máxima inclinación.
2. Definición de un plano cuando una rectas es del siguiente tipo:
2.1. Recta horizontal o frontal del plano.
Si una de las rectas que nos dan es una recta frontal o horizontal de plano,
se cumple que:
"La proyeccion de la recta que no es paralela a LT es siempre paralela a la
traza homónima del plano que la contiene."
2.2. Recta paralela a la linea de tierra.
Si una de las rectas que definen un plano, es paralela a la LT,
se cumple que:
"El plano que se define tienen sus trazas paralelas a la LT."
3. Otras maneras de definir un plano:
A veces, nos encontramos con rectas situadas de tal forma que no podemos obtener sus trazas directamente dentro de los limites del papel. O bien, nos piden en el enunciado hallar las trazas de un plano definido por dos rectas , cuyas trazas son innacesibles (se cortan fuera de lso limetes del papel), que se cortan o son paralelas.
¿Qué podemos hacer?
1º Tomar una pareja de puntos pertenecientes a cada una de las rectas dadas en el enunciado.
2º Dibujamos las trazas de estas nuevas rectas para obtener las trazas del plano que las contiene.
Este procedimiento se fundamenta en el siguiente axioma:
" Si demostramos que dos puntos de una recta pertenecen a un plano,
el resto de los puntos de ésta también pertenencen a ese plano."
¡¡¡ATENCIÓN!!!
No debemos confundir los procedimientos de definir un plano con la manera en que nos pueden dar los datos para trazar una plano en el Sistema Diédrico:
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Definir las características geométricas de sus trazas: "dibujar el plano α, cuya traza vertical forma αº con LT y cuya traza horizontal es perpendicular a LT, cortándose ambas en el punto A(-X, Y, Z), tomar el que se abre hacia la izquierda."
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Definir el plano por tres puntos, tomados con referencia el origen de coordenadas*, estos puntos deben ser pertenecientes siempre a LT, PH y PV, dados en este orden. Al ser puntos especiales: Contenidos en los planos de proyección, bastará con dar sus coordenadas principales X, Y, Z: "dibujar el plano α (X, Y, Z)"
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Definir el plano por condiciones y/o construcciones geométricas. "Dibujar un plano α , paralelo al PV y que contiene al punto A(X, Y, Z)"
Figuras geométricas situadas en planos.
Antes de comenzar, debemos recordar que toda figura geométrica es, en esencia, un grupo de puntos que se unen entre sí, o un conjunto de rectas que se cortan formando los lados de la figura (segmentos). Por tanto, como hemos visto en el apartado ¿Cuándo un punto y una recta pertenecen a un plano?, se puede entender facilmente que:
" Una figura geométrica está contenida en un plano, cuando todos sus vértices están contenidos en rectas que pertenecen al plano."
Los vérties del triángulo ABC, pertenencen a dos rectas s y t. (Al mismo tiempo el vértice C pertenece a la recta-traza P', y por tanto, por este simple hecho, pertenece al plano P.
Alfabeto del plano.
Presentación interactiva que resume perfectamente, los distintos tipos de planos, con sus características ( + ). Puedes introducir las coordenadas o bien desplazar los puntos rojos de la vista en perspectiva para experimentar con el alfabeto correspondiente. O bien, seleccionar en el ménu Posiciones de los alfabetos. Finalmente, en Evaluación puedes comprobar tu nivel de conocimiento.
Unidad Sistema diédrico de José Antonio Cuadrado ©
Después de visualizar los distintos tipos de planos segun su posición espacial, podemos detenermos con mayor detalle y ampliar la información que hemos extraido de Unidad Sistema diédrico de José Antonio Cuadrado ©.
Planos proyectantes
Son los planos perpendiculares a los planos de proyección H y V. Son muy empleados en la realización de construcciones auxiliares.
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Plano proyectante horizontal: Es perpendicular al plano horizontal, luego su traza vertical es perpendicular a LT y su traza horizontal es una recta cualquiera. Todo lo contenido en ese plano se proyecta horizontalmente sobre la traza horizontal del proyectante. El ángulo que forma el plano con V se aprecia en verdadera magnitud.
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Plano proyectante vertical: Es perpendicular al plano vertical, luego su traza horizontal es perpendicular a LT y su traza vertical es una recta cualquiera. Todo lo contenido en ese plano se proyecta verticalmente sobre la traza vertical del proyectante.
El ángulo que forma el plano con H se aprecia en verdadera magnitud.
Planos paralelos a los de proyección
Son un tipo concreto de planos proyectantes, pues al ser paralelos a uno de los planos de proyección son perpendiculares al otro. Hay dos posibilidades:
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Plano Horizontal: Tiene una única traza vertical paralela a LT, que se puede encontrar por encima, contenida en LT (la propia definición de H) o por debajo. Todo los que contiene lo proyecta verticalmente sobre su única traza y horizontalmente en verdadera magnitud.
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Plano Frontal o Vertical: Tiene una única traza horizontal paralela a LT, que se puede encontrar por encima, contenida en LT (la propia definición de V) o por debajo. Todo los que contiene lo proyecta horizontalmente sobre su única traza y verticalmente en verdadera magnitud.
Planos perpendiculares a los bisectores
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Plano de perfil: Perpendicular a LT, por lo tanto lo es al PH y PV. Sus trazas son ambas perpendiculares a LT y están confundidas, así como las proyecciones de cualquier elemento contenido en el mismo.
Por utlimo, debemos señalar que también es perpendicular a ambos bisectores.
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Planos perpendiculares al 1er bisector: Sus trazas forman el mismo ángulo con LT. ¿Cómo serán las trazas de los elementos contenidos en ellos?
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Planos perpendiculares al 2º bisector: Tiene sus trazas en línea recta y coincidentes, formando un ángulo cualquiera con LT. ¿Suecede lo mismo con los elementos contenidos en ellos?
Planos que pasan por LT
Se caracterizan porque ambas trazas están confundidas y son coincidentes con LT, por lo que se necesitará de un punto para representarlos.
Se representa con dos pequeños trazos flaqueando la línea de referencia del punto que ayuda a definir el plano. Debajo de estos trazos, se nombra las trazas. Podemos concluir que el punto auxiliar que lo define nos indica la inclinacion del plano. Que se observará en VM en la 3ª proyección.
Consideración: Si además dichos planos forman 45º o 135º con el PH, hablamos los planos bisectores.
Planos paralelos a LT
Se caracterizan porque ambas trazas son paralelas a LT, ya que el punto de corte con dicha recta es impropio. Distinguimos dos grandes grupos:
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Planos paralelos a LT que no son paralelos a los bisectores. Existen cuatro posiciones genéricas.
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Paralelos a los bisectores, son planos Planos paralelos a LT , que se diferencian del resto en que sus trazas son equisitantes respecto de LT. Existen cuatro posiciones:
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Paralelo al segundo bisector por encima del primer bisector.
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Paralelo al segundo bisector por debajo del primer bisector.
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Paralelo al primer bisector por encima del segundo bisector.
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Paralelo al primer bisector por debajo del segundo bisector.
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AcTICvidades
Cuestionario realizado con el programa Hot-Potatoes para practicar el reconocimiento de las diferentes posiciones de la recta respecto a los planos de proyección y los cuadrantes por los que pasa. Ir a la versión para el estudio individual. Corrige automáticamente.